ARC083 E Bichrome Tree

Bichrome Tree

题意

给你一棵树($n\leq 1000$),每个节点有黑白两色,规定每个结点$v$的一个值$X_v$是以$v$为根的这棵子树中与$v$颜色相同的结点的权值之和,给定每个节点的$X_v$值,问是否能够分配这棵树的颜色和各个节点的权值使得这棵树满足给定的$X$值,输出是否可行。

样例

sample1

1
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3
3
1 1
4 3 2
1
POSSIBLE

题解

考虑每个节点,因为这个结点本身的权值可以赋为任意值(当然,$\leq X_v$),所以考虑在这棵子树中与这个结点颜色不同的结点权值之和。与这个结点颜色不同的点权值之和可以为很多值,我们记录它的最小值,因为更大的值可以通过更改这个结点本身的权值来做到。

考虑先遍历完一个结点的子树,再对这个结点的答案进行更新,记上述所说的当结点$v$颜色为$i$,这个子树另外一个颜色的结点权值之和的最小值为$f[v][i]$,更新时记$v$的前$i$个子树为当前颜色的点权值之和为$j$时另外一个颜色的结点权值之和的最小值,那么对于结点$v$的每一个结点我们可以这样更新:

当子节点$u$的颜色与$v$不相同的时候,设加入这个结点前的前面所有子树是$v$的颜色的结点权值和为$w$,$cnt$为当前已经到了第几个子树,当$w+f[u][i ~xor~ 1] \leq X_v$时$g[cnt][w+f[u][i~xor~1]]=min(g[cnt-1][w]+X_u)$,当颜色相同时有$g[cnt][w+X_u]=min(g[cnt-1][w]+f[u][i ~xor ~1])$,最后判断根节点是否能够取得合法的权值即可。

复杂度

$O(nW)$

程序

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000+5;
const int maxW=5000+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
vector<int > ed[maxn];
void addedge(int from,int to)
{
ed[from].push_back(to);ed[to].push_back(from);
}
int n;
int X[maxn],f[maxn][2],g[maxn][maxW];
void dfs(int v,int fa)
{
f[v][0]=f[v][1]=inf;
for(int i=0;i<(int)ed[v].size();i++){
int u=ed[v][i];
if(u!=fa) dfs(u,v);
}
for(int i=0;i<=1;i++){
g[0][0]=0;
int cnt=0;
for(int j=1;j<=X[v];j++) g[0][j]=inf;
for(int j=0;j<(int)ed[v].size();j++){
int u=ed[v][j];
if(u==fa) continue;
cnt++;
for(int w=0;w<=X[v];w++) g[cnt][w]=inf;
for(int w=0;w<=X[v];w++){
if(w+X[u]<=X[v])
g[cnt][w+X[u]]=min(g[cnt-1][w]+f[u][i^1],g[cnt][w+X[u]]);
if(w+f[u][i^1]<=X[v])
g[cnt][w+f[u][i^1]]=min(g[cnt][w+f[u][i^1]],g[cnt-1][w]+X[u]);
}
}
for(int w=0;w<=X[v];w++)
f[v][i]=min(f[v][i],g[cnt][w]);
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=2;i<=n;i++){
int p;
scanf("%d",&p);
addedge(i,p);
}
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&X[i]);
dfs(1,-1);
if(f[1][0]<inf || f[1][1]<inf) printf("POSSIBLE\n");
else printf("IMPOSSIBLE\n");
return 0;
}