agc06E Rotate 3x3

我们把每个竖排在原来刚开始的grid里的是第几个竖排记为它的编号,终态就可以看成一个排列辣

不难发现旋转的过程在位置上是只对同奇偶性的位上产生影响的,在竖着的那列是顺着的还是倒着的(定义为正负性好了)对奇偶性相反的一个位上产生影响,举例我旋转$[1,3]$这个$grid$,1,2,3竖排的正负性逆转,奇数位上1,3交换位置。

然后考虑怎么判断终态是否合法…考虑用个01串表示竖排的正负性,但没什么用。只判断奇偶位的话是WA很多点的(而且可以轻易举出反例)。

然而正确的做法是,因为一次旋转一定使得奇数位或偶数位上的两个数交换,然后对立的奇偶性的中间那个位置正负性交换(当然两边的两个同奇偶性位置的正负性同时也交换),于是这样的话,一次假定是在奇数位上交换了两个数那么偶数位上一定会产生一个正负性逆转的情况,在偶数位上交换两个数同理。记奇数位和偶数位上的逆序对个数为$od$和$ev$,奇数位和偶数位竖排的正负性中负的个数分别为$odv$,$eve$,那么合法的终态一定是$od$和$eve$奇偶性相同。$ev$和$odv$奇偶性相同。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+5;
int s[4][maxn],n,a[maxn];
int sum[maxn];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(int pos,int ad)
{
while(pos<=n){
sum[pos]+=ad;
pos+=lowbit(pos);
}
}
int getsum(int pos)
{
int ret=0;
while(pos>0){
ret+=sum[pos];
pos-=lowbit(pos);
}
return ret;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=3;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&s[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=(s[2][i]+1)/3;
}
bool can=true;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(s[1][i]-s[2][i]!=s[2][i]-s[3][i] || abs(s[1][i]-s[2][i])!=1) {can=false;break;}
if(i%2 != a[i]%2) {can=false;break;}
}
if(!can) {printf("No\n");exit(0);}
memset(sum,0,sizeof(sum));
int od=0,ev=0,odv=0,eve=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(s[1][i]-s[2][i]==1) odv+=(a[i]&1),eve+=(a[i]%2==0);
}
for(int i=1;i<=n;i+=2){
od+=((i+1)/2-1)-getsum(a[i]);
add(a[i],1);
}
memset(sum,0,sizeof(sum));
for(int i=2;i<=n;i+=2){
ev+=(i/2-1)-getsum(a[i]);
add(a[i],1);
}
if(od%2!=eve%2 || ev%2!=odv%2) can=false;
if(!can) printf("No\n");
else printf("Yes\n");
return 0;
}