cf739E Gosha is hunting (flows)

739E

有$a$个普通球,$b$个超级球,有$n$个要捕捉的宝可梦,对于第$i$个宝可梦普通球的捕捉概率是$p_i$,超级球的捕捉概率是$u_i$,每种球只能扔一个到同一个宝可梦,同一个宝可梦可以被扔两种球。然后问在最优策略下捕捉个数的期望

考虑概率$dp$,发现状态无法简化到$n^2$级别,原来不是dp

假定每个宝可梦只能被扔一个球,那就是个匹配问题了,设$A$为普通球,$B$为超级球,源点向$A$,$B$连容量为球的个数,花费为$0$的边,$A,B$分别向每个精灵连容量为$1$,花费为$p_i$或者$u_i$的边,然后每个精灵向汇点连容量为$1$,费用为$0$的边,最大费用流的费用即为答案。

由于一个精灵能同时被扔两个球那么他被扔两个球时,捕捉的概率是$1-(1-p_i)\times (1-u_i)$,化简得$p_i+u_i-p_i \times u_i$,这样其实相当于$A,B$同时有容量为$1$的流流过这个精灵,如果没有$p_i \times u_i$则可以每个精灵向汇点连两条边,每条边容量为$1$并且花费为$0$,然而处理这个$p_i \times u_i$可以考虑把两条边中其中一条的费用改为$-p_i \times u_i$,因为最大费用流跑最长路的时候肯定优先走$0$花费的那条,再走$-p_i \times u_i$的这条,而走两条当且仅当两种球都扔向同一个精灵的时候,此时费用恰好和为$p_i+u_i-p_i \times u_i$,得证。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
const int maxn=2000+5;
int n,a,b;
struct edge{
int to;
double cost;int cap,rev;
edge(int to=0,double cost=0,int cap=0,int rev=0): to(to),cost(cost),cap(cap),rev(rev) {}
};
vector<edge> g[maxn];
void addedge(int from,int to,int cap,double cost)
{
cost=-cost;
g[from].push_back(edge(to,cost,cap,g[to].size()));
g[to].push_back(edge(from,-cost,0,g[from].size()-1));
}
double p[maxn],u[maxn];
int S,T,A,B;
#define MP make_pair
bool inque[maxn];
double dis[maxn];
int preve[maxn],prevv[maxn];
queue<int > q;
double spfa()
{
for(int i=S;i<=B;i++) dis[i]=1e60,inque[i]=false;
dis[S]=0;inque[S]=true;
while(!q.empty()) q.pop();
q.push(S);
memset(prevv,0,sizeof(prevv));memset(preve,0,sizeof(preve));
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();inque[u]=false;
for(int i=0;i<(int)g[u].size();i++){
edge &e=g[u][i];
if(e.cap && dis[e.to]-(dis[u]+e.cost)>eps) {
dis[e.to]=dis[u]+e.cost;
preve[e.to]=i,prevv[e.to]=u;
if(!inque[e.to]){
inque[e.to]=true;
q.push(e.to);
}
}
}
}
if(dis[T]>=1e60) return 0;
int gap=INT_MAX;
for(int i=T;i!=S;i=prevv[i]) gap=min(gap,g[prevv[i]][preve[i]].cap);
for(int i=T;i!=S;i=prevv[i]){
edge &e=g[prevv[i]][preve[i]];
e.cap-=gap;
g[i][e.rev].cap+=gap;
}
return dis[T]*(double)gap;
}
double MaxcostMaxflow()
{
double res=0,ret=0;
while((res=spfa())!=0) ret+=res,res=0;
return ret;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&u[i]);
S=0,T=n+1,A=n+2,B=n+3;
addedge(S,A,a,0),addedge(S,B,b,0);
for(int i=1;i<=n;i++) addedge(A,i,1,p[i]),addedge(B,i,1,u[i]),addedge(i,T,1,0),addedge(i,T,1,-p[i]*u[i]);
printf("%.4lf\n",-MaxcostMaxflow());
return 0;
}