bzoj3309 DZY Loves Math

题意:对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f($2^3 \times 5^1 \times 7^2$)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
给定正整数a,b,求$\sum_{i=1}^a \sum _{j=1}^b f(gcd(i,j))$ 。

题解:

$$\sum_{i=1}^a \sum _{j=1}^b f(gcd(i,j)) =\sum_{d=1}^a f(d) \sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^m[gcd(i,j)==d] = \sum _{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor } \mu(x) \lfloor \frac{n}{xd}\rfloor \lfloor \frac{m}{xd} \rfloor $$

令$T=xd$

$$\begin{aligned} \sum _{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor} \mu(x) \lfloor \frac{n}{xd}\rfloor \lfloor \frac{m}{xd} \rfloor =\sum_{T=1}^n \lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \sum_{x|T} \mu(x)f(\frac{T}{x})\end{aligned}$$

设$g(T)=\sum_{x|T} f(x) \mu(\frac{T}{x})$

显然如果可以搞出$g$的前缀和一类的东西,就可以每次$\sqrt{n}$处理每次询问了。

打个表可以发现$g$的结果是这样的:

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大致上有这样的一个规律:

对于函数$g(T)$,设$T$有$k$个质因子,如果每个质因子的指数不都相同,那么$g$函数值为0;否则当$k$为奇数的时候,$g=1$,为偶数时,$g=0$。

证明:

对于$g(T)=\sum_{d|T} f(d) \mu(\frac{T}{d})$(换成$d$防止混淆),设$T=\prod_{i=1}^k p_i^{x_i}$,$x=\prod_{i=1}^k p_i^{y_i}$,$a=max \{x_i \}$

  • 当所有的$x_i$都等于$a$的时候,因为$\mu(x)$只要$x$里有平方因子就为$0$,所以对$g$有贡献的$d$一定是$T$每个质因子至多除掉一个的时候。

    • 当$d$中还存在至少一个质因子指数为$a$的时候,$f(d)=a$,

      $\sum f(d)\mu(\frac{T}{d})=a\times \sum_{i=1}^k C_{k}^i (-1)^{k-i} = a\times (\sum_{i=0}^k C_{k}^i (-1)^{k-i} - (-1)^k) = a\times (-1)^{k+1}$

    • 当$d$中所有质因子指数都为$a-1$的时候,$f(d)=a-1$,

      $\sum f(d)\mu(\frac{T}{d}) = (a-1) \times (-1)^k$

    两者相加得到$(-1)^{k+1}$

  • 当不是所有的$x_i$都等于$a$的时候

    • 当$d$中还存在一个质因子指数等于$a$的时候,设$T$中有$q$个等于$a$,$f(d)=a$

      $\sum f(d)\mu(\frac{T}{d})=a \times \sum_{i=1}^{q} C_{q}^i (-1)^{q-i} \sum_{j=0}^{k-q}(-1)^j $,$\sum_{j=0}^{k-q}(-1)^j =(1-1)^{k-q}=0$,所以为$0$

    • $f(d)=a-1$h时,

      $\sum f(d) \mu(\frac{T}{d}) = (a-1) \times (-1)^q \sum_{j=0}^{k-q} C_{k-q}^j (-1)^j =0$

    两者相加等于$0$

故只有$T$中所有质因子指数相等的时候才有值,值为$(-1)^{k+1}$。

这样就可以线性筛$g(T)$,由于要处理一个数的次幂的情况,所以可能要有个$log$,求个前缀和,每次询问分块出解即可。复杂度$O(n + \sqrt{n}logn+ q \sqrt{n})$

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=(int)1e7+5;
int pri[maxn],cnt=0,g[maxn],mu[maxn];
bool vis[maxn];
void sieve()
{
    memset(g,-1,sizeof(g));
    g[1]=0; mu[1]=1;
    int t=0;
    for(int i=2;i<maxn;i++) {
        if(!vis[i]) {pri[++cnt]=i;g[i]=1;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt && 1ll*i*pri[j]<maxn;j++) {
            t=pri[j]*i;
            vis[t]=true;
            g[t]=-g[i]; mu[t]=-mu[i];
            if(i%pri[j]==0) {g[t]=0;mu[t]=0;break;}
        }
    }
    for(int i=2;i<maxn;i++) {
        if(mu[i]==0) continue;
        if(i>maxn/i) break;
        for(int j=i*i;j<maxn;) {
            g[j]=g[i];
            if(j>maxn/i) break;
            j=j*i;
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++) g[i]=g[i]+g[i-1];
}
int main()
{
    sieve();
    int t; int n,m;
    scanf("%d",&t);
    int T=1,las=1;
    ll res=0;
    for(int z=0;z<t;z++) {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m) swap(n,m);
        T=1,las=1,res=0;
        while(T<=n) {
            las=min(n/(n/T),m/(m/T));
            res+=1ll*(n/T)*(m/T)*1ll*(g[las]-g[T-1]);
            T=las+1;
        }
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}